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Matemática Financeira

Juros

Juro, do ponto de vista do conceito econômico, pode ser definido como a remuneração do banqueiro. Analogamente existem ainda o lucro (remuneração dos empresários e acionistas) e aluguéis (remuneração dos proprietários de bens imóveis alugados).

História
Documentos históricos redigidos pela civilização Suméria, por volta de 3000 a.C., revelam que o mundo antigo desenvolveu um sistema formalizado de crédito baseado em dois principais produtos, o grão e a prata. Antes de existirem as moedas, o empréstimo de metal era feito baseado em seu peso.

Arqueólogos descobriram pedaços de metais que foram usados no comércio nas civilizações de Tróia, Babilônia, Egito e Pérsia. Antes do empréstimo de dinheiro ser desenvolvido, o empréstimo de cereal e de prata facilitava a dinâmica do comércio. Na Idade Média, considerava-se crime (chamado crime de Usura), alguém emprestar dinheiro, pretendendo receber uma quantia maior do que o valor emprestado após um tempo.

Juros simples

O juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros.

Transformando em fórmula temos:
J = (C . i . t): 100      OU      J = C . (i:100) . t   
Obs: O C (capital), também é conhecido por P(principal), e o t (tempo), também é conhecido por n]

Onde:
J = juros
C = Capital
i = taxa de juros
t = tempo

A soma, capital+juros, resulta no montante. Então temos que:
M = C + J

Exemplo 1:

Temos uma dívida de R$ 1 000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Quanto pagaremos de juros, e quanto pagaremos no total (montante)?

Usamos a fórmula J=(cit): 100, e obtemos:
J = (1 000 x 8 x 2): 100 J = 160
Usamos a fórmula M=C+J, e obtemos:
M = 1 000 + 160 M = 1 160
resp: Pagaremos R$ 160,00 de juros ( R$ 80,00 para cada mês ), e no total, o montante, será de R$ 1 160,00.

Exemplo 2:

Calcule o montante resultante da aplicação de R$70 000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
Repare que a taxa está ao ano, e o tempo em dias, então vamos passar o tempo para ano.
Um ano = 360 dias
Se temos 145 dias, então:
145 : 360 = aproximadamente 0,4027
Observe que expressamos a taxa, i, e o tempo, t, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Vamos raciocinar devagar:
M = C + J
C = 70 000
J = ?
Então, descobrimos J através da fórmula:
J = (70 000 x 10,5 x 0,4027): 100
J = aproximadamente 2959,85
Portanto, temos o montante de:
M = 70 000 + 2959,85 = aprox. 72 959,85


resp: O montante será de aproximadamente R$ 72 959,85

Aplicações
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234

2) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = C.(i:100).t

A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias,
poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

Juro Composto
No regime de juros compostos os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, conseqüentemente, rendem juros.

Exemplo Numérico:
Considere que um investidor tivesse aplicado $1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8 % ao ano, no regime de juros compostos. Qual o valor do saldo credor desse investidor no Banco XYZ no final de cada um dos quatro anos da operação?

Tabela 1: Crescimento de $1.000,00 a juros compostos de 8% a.a.

Ano

Saldo no início do ano

Juros no início do ano

Saldo no final do ano, antes do pagamento

Pagamento do ano

Saldo no final do ano após o pagamento

1

1.000,00

8% x 1.000,00 = 80,00

1.080,00

0,00

1.080,00

2

1.080,00

8% x 1,080,00 = 86,40

1.166,40

0,00

1.166,40

3

1.166,40

8% x 1.166,40 = 93,31

1.259,71

0,00

1.259,71

4

1.259,71

8% x 1.259,71 = 100,78

1.360,49

1.360,49

0,00

Observações:
•   o rendimento é maior a juros compostos do que a juros simples;
•   o montante resultante, FV, da aplicação de um principal, PV, durante n períodos, com taxa de juros, i, por período, no regime de juros compostos, é dado pela expressão:

FV = PV(1 + i)n

•    enquanto pelo regime de juros simples:
FV = PV(1 + i x n)

Valor atual e valor nominal
O montante de um capital (FV) aplicado a data zero, à taxa de juros compostos (i), após n períodos, conforme já mostrado, é dado por:
FV = PV(1 + i)n

O valor atual corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior à data do vencimento. O valor nominal é o valor do título na data do seu vencimento.

Vejamos estes conceitos aplicados ao regime de juros compostos: seja o montante dado (FVn), queremos saber qual é o valor atual do compromisso na data zero.

Sejam:
•    V = valor atual na data zero
•    N = valor nominal n a data zero (FVn)

Deve ficar claro que o valor atual pode ser calculado em qualquer data focal inferior à do montante, não precisando ser necessariamente a data zero que utilizamos no exemplo acima. Constata-se que o cálculo do valor atual é apenas uma operação inversa do cálculo do montante. Nestas condições, o valor atual, aplicado à taxa de juros compostos contratada (i), da data do valor atual até a data do vencimento, reproduz o valor nominal.

No Direito os juros está previsto no Dec. 22.626/1933 denominado Lei de Usura. A taxa de juro é chamado custo do dinheiro, o que é cobrado para emprestá-lo, basicamente. Segundo a legislação brasileira, é vedado e será punido nos termos da lei, estipular em quaisquer contratos taxas de juros superiores ao dobro da taxa legal.

 

Fontes:
Wikipédia, a enciclopédia livre.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Juro

 

 

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